《亚里士多德的三段论》第33章

　　首先，从（９）到（２６）

　　Ｔ１０。

　　ＣｐＣｑｐ（简化定律）

　　Ｔ１０。

　　ｐＣＩａｂＩｂａ×Ｃ（９）—（２３）

　　]（２３）ＣｑＣＩａｂＩｂａ应用规则２于这个断定命题以约束ｂ并随后约束ａ，因为ｂ_与ａ都不在前件中出现：（２３）２ｂ×（２４）

　　`（２４）ＣｑｂＣＩａｂＩｂａ`（２４）２ａ×（２５）

　　`（２５）ＣｑａｂＣＩａｂＩｂａ`（２５）ｑＣｐＣｑ×ＣＴ１０－（２６）

　　]（２６）ａｂＣＩａｂＩｂａ`其次：从（２６）到（９）。

　　Ｔ５Ｃｐｐ（同一律）

　　Ｔ５。

　　ｐＣＩａｂＩｂａ×（２７）

　　]（２７）ＣＣＩａｂＩｂａＣＩａｂＩｂａ我们应用规则１于这个断定命题以约束ｂ并随后约束ａ：_（２７）１ｂ×（２８）

　　`

　　-- 137

　　２５。三段论系统的基本要素A ５２１

　　（２８）ＣｂＣＩａｂＩｂａＣＩａｂＩｂａ`（２８）１ａ×（２９）

　　`（２９）ＣａｂＣＩａｂＩｂａＣＩａｂＩｂａ`（２９）×Ｃ（２６）—（９）

　　（９）ＣＩａｂＩｂａ亚里士多德断定：“如果有些ａ是ｂ，那么，有些ｂ应是ａ就是必然的”

　　，依我看，“就是必然的”这表达词只能有这个意思：要找到变项ａ和ｂ的那样的值，它会确证前件而不能确证后件，那是不可能的。

　　换句话说，那就是指“对于所有ａ与所有ｂ而言，如果有些ａ是ｂ，则有些ｂ是ａ。”这就是我们的量化的断定命题（２６）。

　　这个断定命题与非量化的换位律“如果有些ａ是ｂ，则有些ｂ是ａ”

　　（它不包含必然性的记号）

　　是等值的，这是已经证明了的。

　　由于三段论的必然性是与全称量词等价的，所以它可以被省略，因为一个全称量词在真公式之前是可以省略的。

　　２５。三段论系统的基本要素A每一个公理化的演绎系统都以三项基本要素为基础：原始词项，公理，和推论规则。

　　我从对断定的表达式而言的基本要素开始，对排斥的表达式而言的基本要素将于以后给出。

　　我取常项Ａ和Ｉ为原始词项，用它们来定义其它两个常项Ｅ和Ｏ：

　　Ｄｆ１

　　Ｅａｂ＝ＮＩａｂ

　　ｆ２

　　Ｏａｂ＝ＮＡａｂ。

　　为了把证明缩短我将使用下面的两条推论规则来代替上述定

　　-- 138

　　６２１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统

　　义：规则ＲＥ：ＮＩ在任何地方均可用Ｅ去替换，反之亦然。

　　规则ＲＯ：ＮＡ在任何地方均可用Ｏ去替换，反之亦然。

　　当作公理来断定的这个系统的四条断定命题就是两条同一律和Ｂａｒｂａｒａ式及Ｄａｔｉｓｉ式：１。

　　Ａａ２。

　　Ｉａ３。

　　ＣＫＡｂｃＡａｂＡａｃ（Ｂａｒｂａｒａ）

　　４。

　　ＣＫＡｂｃＩｂａＩａｃ（Ｄａｔｉｓｉ）。

　　除了规则ＲＥ与ＲＯ之外，我采用以下两条对于断定的表达式的推论规则：（ａ）代入规则：如果ａ是这一系统的一个断定的表达式，那么，用正确的代入从α得出的任何表达式也是一个断定的表达式。

　　唯一正确的代入是对词项变项ａ，ｂ，ｃ，代以其它的词项变项，如以ｂ代ａ。

　　（ｂ）分离规则：如果Ｃαβ与α都是这系统的断定的表达式，那么β也是断定的表达式。

　　我采取带有被定义的函子Ｋ的演绎理论的Ｃ—Ｎ系统，作为辅助理论。

　　命题变项可以代之以三段论的命题表达式，如Ａａｂ，Ｉａｃ，ＫＥｂｃＡａｂ，等等。

　　在所有以后的证明中（并且也对排斥的表达式）我将只用下面十四条用罗马数字指明的断定命题：Ⅰ。

　　ＣｐＣｑｐ（简化定律）

　　Ⅱ。

　　ＣｑｒＣｐｑＣｐｒ（假言三段论定律、第二个形式）

　　Ⅲ。

　　ＣｐＣｑｒＣｑＣｐｒ（分配律）

　　-- 139

　　２５。三段论系统的基本要素A ７２１

　　Ⅳ。

　　ＣｐＣＮｐｑ（邓斯司各脱定律）

　　WⅤ。

　　ＣＮｐｐ（克拉维乌斯定律）

　　Ⅵ。

　　ＣｐｑＣＮｑＮｐ（易位律）

　　Ⅶ。

　　ＣＫｐｑｒＣｐＣｑｒ（输出律）[奇+书+网]

　　Ⅷ。

　　ＣｐＣＫｐｑｒＣｑｒⅨ。

　　ＣｓｐＣＫｐｑｒＣＫｓｑｒⅩ。

　　ＣＫｐｑｒＣｓｑＣＫｐｓｒⅪ。

　　ＣｒｓＣＫｐｑｒＣＫｑｐｓＸＩ。

　　ＣＫｐｑｒＣＫｐＮｒＮｑＸＩ。

　　ＣＫｐｑｒＣＫＮｒｑＮｐＸＩＶ。

　　ＣＫｐＮｑＮｒＣＫｐｒｑ断定命题Ⅷ是输出律的一个形式，断定命题Ⅸ—Ⅺ都是复合的假言三段论定律，而Ⅻ—是复杂的易位律。

　　所有这些，用第２３节所说的０—１方法，都是易于验证的。

　　断定命题Ⅳ、Ⅴ与Ⅱ、Ⅲ一起给出全部Ｃ—Ｎ系统，但Ⅳ、Ⅴ只是对排斥的表达式的证明才是需要的。

　　公理１—４的系统是一致的，也就是说是无矛盾的。

　　无矛盾性的最容易的证明是把词项变项当作命题变项，以及把函项Ａ和Ｉ定义为常真（即令Ａａｂ＝Ｉａｂ＝ＫＣａＣｂ）

　　而作出的。

　　于是公理１—４作为演绎理论的断定命题都是真的，而且已知这演绎理论是无矛盾的，所以三段论系统也是无矛盾的。

　　我们系统的所有公理都是彼此独立的。

　　这一点的证明可以用演绎理论范围内的解释来作出。

　　在后面的解释中，词项变项作为命题变项处理。

　　公理１的独立性：取Ｋ代替Ａ，取Ｃ代替Ｉ，公理１就不

　　-- 140

　　８２１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统

　　能确证了，因为Ａａ＝Ｋａ，而Ｋａａ在ａ０时，得出０。

　　如同用]０—１方法所能看出的那样，其它公理均可确证。

　　公理２的独立性：取Ｃ代替Ａ，与Ｋ代替Ｉ，公理２就不能确证了，因为Ｉａ＝Ｋａ。

　　其它公理均可确证。

　　公理４的独立性：取Ｃ代替Ａ与Ｉ，公理４就不能确证了，因为ＣＫＡｂｃＩｂａＩａｃ＝ＣＫＣｂｃＣｂａＣａｃ在ｂ０，ａ１，ｃ０时，它] ] ]得出０其它均可确证。

　　公理３的独立性：在只有０与１二值的演绎理论的基础上证明这条公理的独立性是不可能的。

　　我们必须引入第三个真值，令其为２，它可看作是代表真，亦即１的另一个符号。

　　对于第２３节所作出的Ｃ，Ｎ和Ｋ的诸等值式，我们还要加上下面这些公式：Ｃ０２＝Ｃ１２＝Ｃ２１＝Ｃ２＝１。

　　Ｃ２０＝０，Ｎ２＝０，Ｋ０２＝Ｋ２０＝０，Ｋ１２＝Ｋ２１＝Ｋ２＝１。

　　在这些条件下，所有Ｃ—Ｎ系统的断定命题都可确证，这能很容易地表明。

　　让我们现在把Ｉａｂ定义为常真的函项，亦即对于ａ与ｂ的所有的值而言，Ｉａｂ＝１，而把Ａａｂ定义为具有以下诸值的函项：Ａａ＝１，Ａ０１＝Ａ１２＝１，以及Ａ０２＝０（其余均无关）。

　　公理１，２与４都可确证，但从公理３用代入ｂ１，ｃ２，ａ０我们得]到：ＣＫＡ１２Ａ０１Ａ０２＝ＣＫ１０＝Ｃ１０＝０。

　　用在自然数域的解释来作独立性的证明也是可能的。

　　例如，我们要证明公理３独立于其余公理，我们能够把Ａａｂ定义为ａ＋１ｂ，而把Ｉａｂ定义为ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ，Ｉａｂ是常真的，因而，

　　-- 141

　　２６。三段论的断定命题的推导A ９２１

　　公理２与４确证了，公理１也确证了，因为ａ＋１总是不同于ａ的。